題面

對于正整數(shù) \(n\)，定義 \(f(n)\) 為 \(n\) 所含質(zhì)因子的最大冪指數(shù)。例如 \(f(1960)=f(23×51×72)=3,f(10007)=1,f(1)=0\)。給定正整數(shù) \(a,b\)，求下式的值：

(資料圖片)

\[\sum_{i = 1}^a\sum_{j = 1}^bf(\gcd(a,b))\]

題解

在下文的推導中，為避免歧義，設 \(N = \min(a,b), M = \max(a,b)\)，顯然 \(N \le M\)。

\[\displaystyle \begin{aligned} & \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^M f(\gcd(a,b))\\= & \sum_{d = 1}^N f(d) \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^M \left[\gcd(i,j) = d\right] \\= & \sum_{d = 1}^N f(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{N}7wbdvkn0uc\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{M}7wbdvkn0uc\right\rfloor} \left[\gcd(i,j) = 1\right] \\ = & \sum_{d = 1}^N f(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{N}7wbdvkn0uc\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{M}7wbdvkn0uc\right\rfloor} \varepsilon(\gcd(i,j)) \\= & \sum_{d = 1}^N f(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{N}7wbdvkn0uc\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{M}7wbdvkn0uc\right\rfloor} \sum _{t \mid \gcd(i, j)} \mu(t)\\= & \sum_{d = 1}^N f(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{N}7wbdvkn0uc\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{M}7wbdvkn0uc\right\rfloor} \sum _{t \mid i \land t \mid j} \mu(t)\\\end{aligned}\]

設 \(T = dt\)，那么：

\[\displaystyle \begin{aligned} & \sum_{d = 1}^N f(d) \sum_{i = 1}^{\left\lfloor\frac{N}7wbdvkn0uc\right\rfloor}\sum_{j = 1}^{\left\lfloor\frac{M}7wbdvkn0uc\right\rfloor} \sum _{t \mid i \land t \mid j} \mu(t)\\= & \sum_{T = 1}^N {\left\lfloor\frac{N}{T}\right\rfloor} {\left\lfloor\frac{M}{T}\right\rfloor} \sum_{d \mid T} f(d) \mu(\frac{T}7wbdvkn0uc)\end{aligned}\]

設 \(h = f * \mu\)，那么原式可化為：

\[\displaystyle \sum_{T = 1}^N {\left\lfloor\frac{N}{T}\right\rfloor} {\left\lfloor\frac{M}{T}\right\rfloor} h(T)\]

下面考慮求函數(shù) \(h(n)\) 的值，首先對 \(n\) 進行質(zhì)因數(shù)分解：

\[\displaystyle n = \prod_{i = 1}^m p_i^{c_i} \ ( \ p_i \in \mathbb{P}, c_i \ge 1 \ )\]

發(fā)現(xiàn)可以把 \(h(n)\) 寫成如下形式：

\[\displaystyle h(n) = \sum_{ab = n} f(a) \mu(b)\]

考慮到莫比烏斯函數(shù) \(\mu(n)\) 的性質(zhì)：如果 \(n\) 中含有平方質(zhì)因子那么 \(\mu(n) = 0\)。所以可以得出能產(chǎn)生貢獻的 \(b\) 即滿足 \(\mu(b) \ne 0\) 的 \(b\) 一定滿足：

\[\displaystyle b = \prod_{i = 1}^m p_i^{d_i} \ ( \ p_i \in \mathbb{P}, _i \in \{0, 1\} \ )\]

所以可以得出 \(f(a) = l \lor f(a) - l - 1\)。

設 $l = \max \limits_{i = 1}^m c_i,k = \sum \limits_{i = 1}^m \left[ c_i = l\right] $。接下來按 \(k \ne m\) 和 \(k = m\) 兩種情況分類討論 \(h(n) 的值\)。

當 \(k \ne m\) 時，按 \(f(a) = l\) 和 \(f(a) = l - 1\) 兩種子情況討論。

當 \(f(a) = l\) 時，設在 \(k\) 個滿足 \(c_i = l\) 的質(zhì)數(shù)中選了 \(t\) 個，在另外 \(m - k\) 個質(zhì)數(shù)中選了 \(s\) 個，那么可以得出貢獻為：

\[\displaystyle \begin{aligned} & \sum_{s = 0} ^ {m - k} \sum_{t = 0}^{k - 1} \dbinom{k}{t} \times l \times (-1) ^ {s + t} \times \dbinom{m - k}{s}\\= & \sum_{t = 0}^{k - 1} \dbinom{k}{t} \times l \times (-1) ^ {t} \sum_{s = 0} ^ {m - k} (-1) ^ {s} \times 1^{m - k - s} \dbinom{m - k}{s} \\= & 0\end{aligned}\]

當 \(f(a) = l - 1\) 時，\(k\) 個滿足 \(c_i = l\) 的質(zhì)數(shù)中一定全部選上，設在另外 \(m - k\) 個質(zhì)數(shù)中選了 \(s\) 個，那么可以得出貢獻為：

\[\displaystyle \begin{aligned} & \sum_{s = 0} ^ {m - k} (l - 1) \times (-1) ^ {s} \times \dbinom{m - k}{s}\\= & \sum_{s = 0} ^ {m - k} (l - 1) \times (-1) ^ {s}\times 1^{m - k - s} \dbinom{m - k}{s} \\= & (l - 1) \times \sum_{s = 0} ^ {m - k} (-1) ^ {s}\times 1^{m - k - s} \dbinom{m - k}{s}\\= & 0\end{aligned}\]

當 \(k = m\) 時，有 \(f(a) = l\) 和 \(f(a) = l - 1\) 兩種子情況，可以得出貢獻為：

\[\displaystyle \begin{aligned} & \sum_{s = 0} ^ {m - 1} (l) \times (-1) ^ {s} \times \dbinom{m - k}{s} + (l - 1) \times (-1) ^ {m} \times \dbinom{m - k}{m - k}\\= & \sum_{s = 0} ^ {m} (l) \times (-1) ^ {s} \times \dbinom{m - k}{s} - 1 \times (-1) ^ m\\= & - 1 \times (-1) ^ m \\= & (-1) ^ {m + 1}\end{aligned}\]

綜上可以得出 \(h(n)\) 的計算式：

\[h(n)=\begin{cases} 0 & k \ne m\\(-1)^{m + 1} & k = m\end{cases}\]

下面考慮如何高效的預處理出 \(h(n)\) 的值。

考慮一下歐拉篩在篩出合數(shù) \(\displaystyle n = \prod_{i = 1}^m p_i^{c_i} \ ( \ p_i \in \mathbb{P}, c_i \ge 1 , p_i < p_{i + 1})\) 時的路徑：

\[p_m \rightarrow p_m^2 \rightarrow p_m^3 \rightarrow \cdots \rightarrow p_m^{c_m} \rightarrow \\p_{m - 1} p_m^{c_m} \rightarrow p_{m - 1}^2 p_m^{c_m} \rightarrow \cdots n\]

也就是說一個合數(shù)被篩出的路徑是按質(zhì)因子從大到小的順序篩出的，所以可以開三個數(shù)組 \(preCount,nowCount\) 和 \(factorCount\)，分別記錄當前數(shù)的最小質(zhì)因子的冪次，其他所有質(zhì)因子的冪次和本質(zhì)不同的質(zhì)因子的個數(shù)。

如果在篩的過程中，設 \(i\) 為當前篩的數(shù)， \(j\) 為枚舉的質(zhì)數(shù)，\(t = i \cdot j\)，如果 \(j \nmid i\)，也就是說 \(j\) 不是 \(i\) 的質(zhì)因子，但是其是 \(t\) 的最小質(zhì)因子，所以 \(nowCount[t] = 1\)，但是 \(preCount[t]\) 的值要根據(jù) \(nowCount[i]\) 和 \(preCount[i]\) 的值來考慮：如果兩者相等，直接賦值即可；否則直接賦 \(-1\)，也就是說現(xiàn)在這個歐拉篩上的路徑上的數(shù)的質(zhì)因子冪次不可能相等了。如果 \(j \mid i\)，直接累加即可。

Code

#include typedef long long valueType;constexpr valueType maxN = 1e7 + 5;class LineSieve {public:    typedef long long valueType;    typedef std::vector container;private:    valueType size;    container minFactorList;    container primeList;    container preCount, nowCount, factorCount, data, sum;public:    explicit LineSieve(valueType _size_) : size(_size_), minFactorList(_size_ + 1),     preCount(_size_ + 1, 0),nowCount(_size_ + 1, 0),     factorCount(_size_ + 1), data(_size_ + 1),sum(_size_ + 1) {        primeList.reserve((size_t) std::floor(std::log((long double) (_size_ + 1))));        for (valueType i = 2; i <= size; ++i) {            if (minFactorList[i] == 0) {                primeList.push_back(i);                minFactorList[i] = i;                nowCount[i] = 1;                preCount[i] = 0;                factorCount[i] = 1;                data[i] = 1;            }            for (auto const &iter: primeList) {                valueType const t = i * iter;                if (t > size)                    break;                minFactorList[t] = iter;                if (i % iter == 0) {                    nowCount[t] = nowCount[i] + 1;                    preCount[t] = preCount[i];                    factorCount[t] = factorCount[i];                    break;                } else {                    nowCount[t] = 1;                    preCount[t] = (nowCount[i] == preCount[i] || preCount[i] == 0) ? nowCount[i] : -1;                    factorCount[t] = factorCount[i] + 1;                }            }        }        for (int i = 2; i <= size; ++i)            if (nowCount[i] == preCount[i] || preCount[i] == 0)                data[i] = (factorCount[i] & 1) == 1 ? 1 : -1;            else                data[i] = 0;        std::partial_sum(data.begin(), data.end(), sum.begin());    }    valueType ans(valueType x) const {        if (x > size)            throw std::range_error("Larger than Size.");        if (x < 0)            throw std::range_error("Too small.");        return sum[x];    }};int main() {    valueType T;    std::cin >> T;    LineSieve Euler(maxN);    typedef std::function solveFunction;    solveFunction solve = [&Euler](valueType N, valueType M) -> valueType {        if (N > M)            std::swap(N, M);        valueType result = 0;        valueType l = 1, r;        while (l <= N) {            r = std::min(N / (N / l), M / (M / l));            result += (Euler.ans(r) - Euler.ans(l - 1)) * (N / l) * (M / l);            l = r + 1;        }        return result;    };    for (int i = 1; i <= T; ++i) {        valueType N, M;        std::cin >> N >> M;        std::cout << solve(N, M) << "\n";    }    std::cout << std::flush;    return 0;}